Решение №5162 Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 8 и 17, а основание ВС равно 1.

Решение:

     Продолжим биссектрису DM до пересечения с продолжением основания ВС в точке K.
    ∠KDA = ∠KDC, т.к. DK биссектриса, ∠KDA = ∠CKD – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей КD. Тогда:

∠KDA = ∠KDC = ∠CKD

     Значит, ΔKCD равнобедренный, КС = СD = 17. Найдём КВ:

KB = КС – ВС = 17 – 1 = 16

     ΔAMD = ΔВМК по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ – по условию, ∠AMD = ∠BMK – вертикальные, ∠DAM = ∠KBM – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей AB). Соответствующие стороны треугольников равны:

AD = KB = 16

     Проведём через точку C прямую CH, параллельную прямой AB. Четырёхугольник ABCH – параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AH = BC = 1
CH = AB = 8

    Найдём HD:

HD = AD – AH = 16 – 1 = 15

    Рассмотрим ΔCHD, он прямоугольной по обратной теореме Пифагора:

СD² = HD² + CH²
17² = 15² + 8²
289 = 225 + 64
289 = 289

    Значит CH⊥HD, CH – высота трапеции ABCD. Найдём площадь трапеции:

S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{16+1}{2}\cdot 8=68

Ответ: 68.