Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 13 и МВ = 15. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите СD.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
CM – биссектриса, то по свойству биссектрисы:
\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{15}
Рассмотрим ΔDAC и ΔDBC, в них ∠D общий, вписанный ∠В равен половине дуги на которую опирается:
∠В = \frac{1}{2}‿АС
∠DCA угол между касательной и хордой, равен половине дуги заключённой между ними:
∠DCA = \frac{1}{2}‿АС
∠В = ∠DCA
ΔDAC ∼ ΔDBC подобны по двум углам, отсюда получаем отношение для сторон:
\frac{CD}{DB}=\frac{DA}{CD}=\frac{13}{15}
откуда:
CD2 = DB·DA
и
DB=\frac{15}{13}CD
Выразим DA:
DA = DB – AM – MB = DB – 13 – 15 = DB – 28 = \frac{15}{13}CD – 28
Всё подставим и найдём СD:
CD^{2}=\frac{15}{13}CD\cdot (\frac{15}{13}CD-28){\color{Blue} |:CD}\\CD=\frac{15}{13}\cdot (\frac{15}{13}CD-28)\\CD=\frac{225}{169}CD-\frac{420}{13}\\\frac{56}{169}CD=\frac{420}{13}\\CD=\frac{420}{13}:\frac{56}{169}=\frac{420\cdot 169}{13\cdot 56}=\frac{105\cdot 13}{1\cdot 14}=\frac{15\cdot 13}{1\cdot 2}=97,5
Ответ: 97,5.