На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке М, AD = 32, MD = 20, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
MQ – хорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:
MD = DQ = 20
Найдём АМ:
AM = AD – MD = 32 – 20 = 12
Найдём AQ:
AQ = AD + DQ = 32 + 20 = 52
По теореме о секущих:
AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 12·52
ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:
\frac{AK}{AD}=\frac{AH}{AC}\\AK\cdot AC=AD\cdot AH\\12\cdot 52=32\cdot AH\\AH=\frac{12\cdot 52}{32}=19,5
Ответ: 19,5.