Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 12 и CD = 18 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿CD, значит и хорды равны CD = AM = 18.
∠AKB = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:
∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°
По теореме косинусов найдём MB:
| MB2 = AM2 + AB2 – 2·AM·AB·cos∠MAB MB=\sqrt{AM^{2}+AB^{2}-2\cdot AM\cdot AB\cdot \cos 120^{\circ}} \\ MB=\sqrt{18^{2}+12^{2}-2\cdot 18\cdot 12\cdot (-0,5)} \\MB=\sqrt{324+144+216} \\MB=\sqrt{684} |
Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:
\frac{MB}{sin\angle MAB}=2R\\\frac{\sqrt{684}}{sin\: 120^{\circ}}=2R\\\frac{\sqrt{684}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R\\\frac{\sqrt{684}\cdot 2}{\sqrt{3}}=2R\\\frac{\sqrt{684}}{\sqrt{3}}=R\\R=\sqrt{\frac{684}{3}}=\sqrt{228}=\sqrt{4\cdot 57}=2\sqrt{57}
Ответ: 2√57.