Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности, проходящей через середину отрезка ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности, описанной около него, равен 18.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Построим рисунок по условию задачи, обозначим середину отрезка ВС точкой К.
Проведём прямую МК, она будет являться высотой (ΔВКМ прямоугольный, т.к. ВМ диаметр окружности) и медианой (по условию К середина ВС) ΔВМС, а значит этот треугольник равнобедренный в нем ВМ = МС.
АМ = МС, т.к. по условию ВМ медиана, тогда АМ = МС = ВМ, получается это радиусы окружности описанной около ΔАВС, центром этой окружности является точка М, АС – диаметр, а ΔАВС прямоугольный:
При данном условии задачи, передвигая точку В по окружности будем получать разные по площади треугольники ΔАВС, при этом чертёж для условия задания будет оставаться верным.
Пример ещё двух разных по площади треугольников ΔАВС:
На видео это ещё нагляднее видно, множество разных по площади треугольников, основание АС остаётся одним и тем же, а высота к этому основанию будет меняться:
Программа на видео называется «Математический конструктор».
Для решения задачи необходимо рассмотреть два случая:
1) Случай, когда сторона AC является касательной к окружности:
В этом случае треугольник ABC будет иметь максимальную площадь. Это связано с тем, что если AC является касательной, то медиана BM становится высотой треугольника, опущенной на сторону AC. Так как радиус окружности равен 18, диаметр будет равен 36. Максимальная площадь в этом случае рассчитывается следующим образом:
S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot 18=324
2) Случай, когда сторона AC не является касательной к окружности:
В этом случае треугольник ABC может иметь любую площадь, которая будет меньше максимальной площади 324, но больше нуля. Площадь будет зависеть от положения точки B на окружности. В сборнике задач предлагается ответ 81 как пример одной из возможных площадей для данного случая.
Ответ: задача имеет недостаточно данных, чтобы определить однозначное решение. В зависимости от контекста (АС касательная или не касательная), возможны разные результаты.