Решение №5487 В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

    Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, S_ABCD = 2·S_ABC
    Площадь треугольника можно найти по двум формулам:

S_{\Delta }=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot R

    ОК = 3 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC  и AB.
    Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и равна высоте треугольника АВС из вершины А к стороне ВС.
    Найдём высоту НР:

НР = ОР + ОН = 3 + 4 = 7

    Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 7=3,5\cdot BC

    По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:

АК² = АО² – ОК²
АК² = 5² – 3² = 16
АК = √16 = 4

    Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:

АК = AL = 4
BL = BP = x
CP = CK = y

    Отсюда стороны треугольника АВС равны:

АС = 4 + y
AB = 4 + x
BC = x + y

    Площадь треугольника по второй формуле равна:

S_{\Delta}=p\cdot R\\S_{ABC}=\frac{AC+AB+BC}{2}\cdot OK=\frac{4+y+4+x+x+y}{2}\cdot 3=\frac{2\cdot (4+x+y)}{2}\cdot 3=(4+x+y)\cdot 3=(4+BC)\cdot 3

    Приравняем оба выражения для нахождения площади:

3,5BC=(4+BC)\cdot 3\\3,5BC=3\cdot 4+3BC\\3,5BC-3BC=12\\0,5BC=12\\BC=12:0,5\\BC=24

    Найдём площадь параллелограмма АВСD:

S_ABCD = 2·S_ABC = 2·3,5·BC = 7·24 = 168

Ответ: 168.