Решение №5589 Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 8 и 10, а основание ВС равно 2.

Решение:

     Продолжим биссектрису DM до пересечения с продолжением основания ВС в точке K.
    ∠KDA = ∠KDC, т.к. DK биссектриса, ∠KDA = ∠CKD – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей КD. Тогда:

∠KDA = ∠KDC = ∠CKD

     Значит, ΔKCD равнобедренный, КС = СD = 10. Найдём КВ:

KB = КС – ВС = 10 – 2 = 8

     ΔAMD = ΔВМК по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ – по условию, ∠AMD = ∠BMK – вертикальные, ∠DAM = ∠KBM – как накрест лежащие при параллельных прямых КС и AD при секущей AB). Соответствующие стороны треугольников равны:

AD = KB = 8

     Проведём через точку C прямую CH, параллельную прямой AB. Четырёхугольник ABCH – параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AH = BC = 2
CH = AB = 8

    Найдём HD:

HD = AD – AH = 8 – 2 = 6

    Рассмотрим ΔCHD, он прямоугольной по обратной теореме Пифагора:

СD² = HD² + CH²
10² = 6² + 8²
100 = 36 + 64
100 = 100

    Значит CH⊥HD, CH – высота трапеции ABCD. Найдём площадь трапеции:

S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=\frac{8+2}{2}\cdot 8=40

Ответ: 40.