Решение №4526 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность.

Решение:

    Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:

    Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: 

AB = СD

    Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

    Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD = 40
2AB + 2AB = 40
4AB = 40
AB = 40/4 = 10
CD = 10

    Площадь трапеции равна 80:

S=\frac{a+b}{2}\cdot h\\80=\frac{BC+AD}{2}\cdot MK\\80=\frac{2\cdot AB}{2}\cdot MK\\80=\frac{2\cdot 10}{2}\cdot MK\\80=10\cdot MK\\MK=\frac{80}{10}=8
МК = ВН = СР = 8

    В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:

AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{36}=6

    АН = РD = 6 – как отрезки образованные высотами равнобедренной трапеции.

ВС + AD = 2·AB
ВС + HP + AH + PD = 2·10
2ВС + 2·6 = 20
2ВС = 20 – 12
2ВС = 8
ВС = 8/2 = 4

    Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 4 + 2·6 = 16

    Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 8 – х.
    ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей. 
    Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

\frac{BC}{AD}=\frac{MO}{OK}\\\frac{4}{16}=\frac{x}{8-x}\\\frac{1}{4}=\frac{x}{8-x}
4x = 1·(8 – x)
4x = 8 – x
4x + x = 8
5x = 8
x = 8/5 = 1,6

Ответ: 1,6.