В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Источник: statgrad
Решение:
Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:
Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны:
AB = СD
Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:
ВС + AD = AB + CD = 2AB
Периметр равен 100, сумма всех сторон трапеции:
ВС + AD + AB + CD = 100
2AB + 2AB = 100
4AB = 100
AB = 100/4 = 25
CD = 25
Площадь трапеции равна 500:
S=\frac{a+b}{2}\cdot h\\500=\frac{BC+AD}{2}\cdot MK\\500=\frac{2\cdot AB}{2}\cdot MK\\500=\frac{2\cdot 25}{2}\cdot MK\\500=25\cdot MK\\MK=\frac{500}{25}=20
МК = ВН = СР = 20
В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=\sqrt{225}=15
АН = РD = 15 – как отрезки образованные высотами равнобедренной трапеции.
ВС + AD = 2·AB
ВС + HP + AH + PD = 2·25
2ВС + 15 + 15 = 50
2ВС + 30 = 50
2ВС = 50 – 30
2ВС = 20
ВС = 20/2 = 10
Найдём AD:
AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 10 + 2·15 = 40
Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 20 – х.
ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей.
Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:
\frac{BC}{AD}=\frac{MO}{OK}\\\frac{10}{40}=\frac{x}{20-x}\\\frac{1}{4}=\frac{x}{20-x}\\1\cdot (20-x)=4\cdot x\\20-x=4x\\20=4x+x\\20=5x\\x=\frac{20}{5}=4
Ответ: 4.