Решение №4527 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность.

Решение:

    Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО:

    Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: 

AB = СD

    Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

    Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD = 120
2AB + 2AB = 120
4AB = 120
AB = 120/4 = 30
CD = 30

    Площадь трапеции равна 540:

S=\frac{a+b}{2}\cdot h\\540=\frac{BC+AD}{2}\cdot MK\\540=\frac{2\cdot AB}{2}\cdot MK\\540=\frac{2\cdot 30}{2}\cdot MK\\540=30\cdot MK\\MK=\frac{540}{30}=18
МК = ВН = СР = 18

    В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:

AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=\sqrt{576}=24

    АН = РD = 24 – как отрезки образованные высотами равнобедренной трапеции.

ВС + AD = 2·AB
ВС + HP + AH + PD = 2·30
2ВС + 2·24 = 60
2ВС = 60 – 48
2ВС = 12
ВС = 12/2 = 6

    Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 6 + 2·24 = 54

    Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 18 – х.
    ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей. 
    Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

\frac{BC}{AD}=\frac{MO}{OK}\\\frac{6}{54}=\frac{x}{18-x}\\\frac{1}{9}=\frac{x}{18-x}
9x = 1·(18 – x)
9x = 18 – x
9x + x = 18
10x = 18
x = 18/10 = 1,8

Ответ: 1,8.