Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 2, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 8.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Расстояние от стороны АВ до точки К это перпендикуляр КН. Проведём через точку К высоту параллелограмма MN:
ΔАКН = ΔАКМ, как прямоугольные треугольники (∠КНА = ∠КМА = 90°), с общей гипотенузой АК и равными острыми углами (∠НАК = ∠МАК) образованными биссектрисой АК. Тогда равны соответствующие стороны:
КН = КМ = 8
Аналогично, ΔВНК = ΔВNK, как прямоугольные треугольники (∠ВНК = ∠ВNK = 90°), с общей гипотенузой BК и равными острыми углами (∠НBК = ∠NBК) образованными биссектрисой BК. Тогда равны соответствующие стороны:
КН = КN = 8
Найдём чему равна высота параллелограмма MN:
MN = КМ + КN = 8 + 8 = 16
Найдём площадь параллелограмма АВСD:
SАВСD = a·h = BC·MN = 2·16 = 32
Ответ: 32.