Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cos∠BAC = \frac{\sqrt{39}}{8}.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

    Введём обозначения как на рисунке:

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

    ∠ВАС = ∠MAF = ∠NAF – как соответствующие.
    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АN) и касательная (АF), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АF). 

АN·АM = АF2
39·16 = АF2
624 = АF2
АF = √624 = 4√39

    Из справочного материала ОГЭ для ΔАMF  используем теорему косинусов:

Решение №3541 Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

    У нас FM = с (противолежащая известному углу сторона), АF = а, AM = b, cos ∠A:

FM2 = AF2 + AM2 – 2·AF·AM·cos∠A
FM2 = (4√39)2 + 162 – 2·4√39·16·\frac{\sqrt{39}}{8}
FM2 = 624 + 256 – 624 = 256
FM = √256 = 16

    Аналогично используем для ΔАNF теорему косинусов:

FN2 = AF2 + AN2 – 2·AF·AN·cos∠A
FN2 = (4√39)2 + 392 – 2·4√39·39·\frac{\sqrt{39}}{8}
FN2 = 624 + 1521 – 1521 = 624
FN = √624 = 4√39

    Значит, АF = FN = 4√39, тогда ΔAFN – равнобедренный с основанием AN. Соответственно, углы при основании такого треугольника равны:

∠BAC = ∠NAF = ∠ANF

    Из справочного материала ОГЭ, используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin∠ANF:

Решение №3541 Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

sin2x + cos2x = 1
sin2x = 1 – cos2x
sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}

    Подставляем:

sin∠ANF=\sqrt{1-cos^{2}∠BAC}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{39}}{8})^{2}}=\sqrt{1-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{64}{64}-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}

    Из справочного материала ОГЭ, по теореме синусов для ΔFMN:

Решение №3541 Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины А.

\frac{FM}{sin\angle FNM}=2R\\\frac{16}{\frac{5}{8}}=2R\\\frac{16\cdot 8}{5}=2R\\R=\frac{16\cdot 8}{5\cdot 2}=\frac{128}{10}=12,8

Ответ: 12,8.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.