В трапеции АВСD основания АD и ВС равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании АD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ = 24.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

В трапеции АВСD основания АD и ВС равны соответственно 34 и 2

    Продолжим касательную CD и прямую АВ они пересекутся в какой то точке К.
    По условию ∠А + ∠D = 90°, в треугольнике сумма 3-х углов равна 180°, тогда в ΔAKD ∠K = 180° – 90° = 90°, значит треугольник прямоугольный.
    Треугольники ΔAKD и ΔBKC подобны по двум углам, в них ∠К общий, ∠KAD = ∠KBC как соответственные при BC||AD и секущей AB. Запишем пропорциональные стороны и найдём КB:

\frac{BC}{AD}=\frac{KB}{AB}\\\frac{2}{34}=\frac{KB}{KB+24}\\\frac{1}{17}=\frac{KB}{KB+24}\\1\cdot (KB+24)=17\cdot KB\\KB+24=17\cdot KB\\24=17\cdot KB-KB\\24=16\cdot KB\\KB=\frac{24}{16}=1,5 

    Проведём радиус ОT к касательной, ОT⊥DK.
    Проведём перпендикулярную прямую ON к хорде AB, она будет делить АВ на два равных отрезка, найдём NB:

NB=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12

В трапеции АВСD основания АD и ВС равны соответственно 34 и 2

    В четырёхугольнике NKTO три прямых угла, значит и 4-й угол прямой. Получаем, что это прямоугольник, противоположные стороны равны. Радиус OT равен:

OT = NK = NB + BK = 12 + 1,5 = 13,5

Ответ: 13,5.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.