На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АD в точке М, АD = 90‚ МD = 69, Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность

    Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
    MQхорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:

MD = DQ = 69

    Найдём АМ:

AM = AD – MD = 90 – 69 = 21

    Найдём AQ:

AQ = AD + DQ = 90 + 69 = 159

    По теореме о секущих:

AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 21·159

    ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:

\frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}\\AK\cdot AC=AH\cdot AD\\21\cdot 159=AH\cdot 90\\AH=\frac{21\cdot 159}{90}=37,1

Ответ: 37,1.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.