На стороне ВС остроугольного треугольника АВС (АВ ≠ АС) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АD в точке М, АD = 90‚ МD = 69, Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите АН.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Решение:
Построим высоту BK, ВК⊥АС, ΔВKC прямоугольный и опирается на диаметр окружности, значит точка К лежит на окружности.
MQ – хорда окружности, диаметр ВС⊥MQ, значит хорда делится пополам в точке D:
MD = DQ = 69
Найдём АМ:
AM = AD – MD = 90 – 69 = 21
Найдём AQ:
AQ = AD + DQ = 90 + 69 = 159
По теореме о секущих:
AK·AC = AM·AQ
AK·AC = 21·159
ΔAKH и ΔADC подобны по двум углам: ∠AKH = ∠ADC = 90°, а ∠CAD – общий. Тогда стороны тоже подобны:
\frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}\\AK\cdot AC=AH\cdot AD\\21\cdot 159=AH\cdot 90\\AH=\frac{21\cdot 159}{90}=37,1
Ответ: 37,1.