Окружности с центрами в точках O и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Диаметры этих окружностей относятся как m:n. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n.
Источник: Ященко ОГЭ 2027 (36 вариантов)
Решение:
KH – внутренняя общая касательная к окружностям с центрами в точках O и Q. OQ – отрезок, соединяющий центры окружностей. Диаметры этих окружностей относятся как m:n, значит и радиусы относятся так же:
\frac{R_1}{R_2}=\frac{m}{n}
Проведём радиусы окружностей к касательной, по свойству касательной, они будут перпендикулярны:
Рассмотрим два прямоугольных ΔOMK и ΔQMH, которые подобны по двум углам (∠KMO = ∠HMQ – как вертикальные, ∠OKM = ∠QHM – прямые). В подобных треугольниках, соответствующие стороны пропорциональны:
\frac{OK}{QH}=\frac{OM}{MQ}
Радиусы окружностей и есть эти перпендикуляры (OK и QH), а точка M делит отрезок OQ в отношении:
\frac{OM}{MQ}=\frac{OK}{QH}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{m}{n}
Что и требовалось доказать.