На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников ABK и CDK равна половине площади трапеции.

Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

Решение:

    Отметим на средней линии трапеции точку K и проведём, через неё высоту НP трапеции:

На средней линии трапеции АВСD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку K.

    Площадь трапеции АВСD по формуле находится следующим образом:

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HP

    Т.к. высота трапеции проходит, через точку K принадлежащей средней линии, то высоты треугольников равны:

KP = KH

    Сумма площадей ΔBKC и ΔAKD равна:

S_{\Delta BKC+\Delta AKD}=S_{\Delta BKC}+S_{\Delta BKC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot KH+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot KH\cdot (BC+AD)=\frac{BC+AD}{2}\cdot KH=\frac{BC+AD}{2}\cdot \frac{HP}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC+AD}{2}\cdot HP

    Сравнив площади, видим что сумма площадей ΔВKС и ΔАKD равна половине площади трапеции (т.к. высота трапеции в два раза больше высоты треугольника).
    Если сумма площадей ΔВKС и ΔАKD – это половина площади трапеции АВСD, то оставшиеся части трапеции: сумма площадей ΔABK и ΔCDK – это другая половина её площади
    Что и требовалось доказать.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.1 / 5. Количество оценок: 11

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.