Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды AB, если CD = 28, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 14 и 12.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Расстояния от центра окружности О до хорд АВ и CD это перпендикуляры ОН и ОК соответственно:
Построим радиусы ОC и ОD, ΔАОВ равнобедренный, ОН является высотой, медианой и биссектрисой. Значит DН = НC.
Найдём НC:
НC = DC/2 = 28/2 = 14
ΔОНВ прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём радиус ОВ:
OC=\sqrt{OH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{12^{2}+14^{2}}=\sqrt{144+196}=\sqrt{340}
Аналогично, построим радиусы OA, OB. Получаем равнобедренный ΔAOB с высотой и медианой ОК.
ΔОКB прямоугольный из него по теореме Пифагора найдём KB:
KB=\sqrt{OB^{2}–KO^{2}}=\sqrt{(\sqrt{340})^{2}–14^{2}}=\sqrt{340–196}=\sqrt{144}=12
Найдём длину хорды AB:
AB = KB·2 = 12·2 = 24
Ответ: 24.