Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках N и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка NР, если АР = 35, а сторона ВС в 2,5 раза меньше стороны АВ.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Четырёхугольник CBNP вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°. Пусть ∠В равен х, тогда противолежащий ∠СРN = 180° – х. Угол ∠АРN смежный к ∠СРN, тогда ∠АРN = 180° – (180° – х) = х. Значит ∠АРN = ∠В.
В ΔСАВ и ΔРАN: ∠АРN = ∠В, угол А общий, значит эти треугольники подобны по двум равным углам. Тогда и стороны подобны:
\frac{AP}{AB}=\frac{NP}{BC}
По условию АВ = 2,5·ВС, AP = 35, тогда:
\frac{35}{2,5\cdot BC}=\frac{NP}{BC} {|\color{Blue} \cdot BC}\\\frac{35}{2,5}=\frac{NP}{1}\\NP=\frac{35}{2,5}=14
Ответ: 14.