Решение №6725 Решите неравенство (x^2 + 5x + 6)(x^2 – 2x – 15) ≤ 0.

Решение:

Разложим каждую скобку на множители, решив соответствующие квадратные уравнения:

х² + 5х + 6 = 0
D = 5² – 4·1·6 = 25 – 24 = 1 = 1²
x_{1}=\frac{-5+1}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2\\x_{2}=\frac{-5-1}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3
х² + 5х + 6 = (х – (–3))(х – (–2)) = (х + 3)(х + 2)

х² – 2х – 15 = 0
D = (–2)² – 4·1·(–15) = 4 + 60 = 64 = 8²
x_{1}=\frac{2+8}{2\cdot 1}=\frac{10}{2}=5\\x_{2}=\frac{2-8}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3
х² – 2х – 15 = (х – 5)(х – (–3)) = (х – 5)(х + 3)

Перепишем исходное неравенство с учётом корней:

(х + 3)(х + 2)(х – 5)(х + 3) ≤ 0
(х + 3)²(х + 2)(х – 5) ≤ 0

Решим методом интервалов:

(х + 3)²(х + 2)(х – 5) = 0
х₁ = –3
х₂ = –2
х₃ = 5

Определим знак выражения на промежутках:

При х > 5 (например, х = 6): (+)(+)(+) = +
При –2 < х < 5 (например, х = 0): (+)(+)(–) = –
При –3 < х < –2 (например, х = –2,5): (+)(–)(–) = +
При х < –3 (например, х = –4): (+)(–)(–) = +

Нам нужны промежутки, где выражение ≤ 0 (меньше или равно нулю).

х ∈ {–3} ∪ [–2; 5]

Ответ: {–3} ∪ [–2; 5].