Решение №6726 Решите неравенство (x^2 – 5x – 14)(x^2 + 6x + 8) ≥ 0.

Решение:

Разложим каждую скобку на множители, решив соответствующие квадратные уравнения:

х² – 5х – 14 = 0
D = (–5)² – 4·1·(–14) = 25 + 56 = 81 = 9²
x_{1}=\frac{5+9}{2\cdot 1}=\frac{14}{2}=7\\x_{2}=\frac{5-9}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2
х² – 5х – 14 = (х – 7)(х – (–2)) = (х – 7)(х + 2)

х² + 6х + 8 = 0
D = 6² – 4·1·8 = 36 – 32 = 4 = 2²
x_{1}=\frac{-6+2}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2\\x_{2}=\frac{-6-2}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4
х² + 6х + 8 = (х – (–2))(х – (–4)) = (х + 2)(х + 4)

Перепишем исходное неравенство с учётом корней:

(х – 7)(х + 2)(х + 2)(х + 4) ≥ 0
(х + 2)²(х – 7)(х + 4) ≥ 0

Решим методом интервалов:

(х + 2)²(х – 7)(х + 4) = 0
х₁ = –4
х₂ = –2
х₃ = 7

Определим знак выражения на промежутках:

При х > 7 (например, х = 8): (+)(+)(+) = +
При –2 < х < 7 (например, х = 0): (+)(–)(+) = –
При –4 < х < –2 (например, х = –3): (+)(–)(+) = –
При х < –4 (например, х = –5): (+)(–)(–) = +

Нам нужны промежутки, где выражение ≥ 0 (больше или равно нулю).

х ∈ (–∞; –4] ∪ {–2} ∪ [7; +∞)

Ответ: (–∞; –4] ∪ {–2} ∪ [7; +∞).