В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Источник: statgrad
Решение:
% = 10% = 0,10
3x – S = 40980 руб. – общая сумма платежей больше суммы взятой в кредит;
x руб. – платёж в каждое из 3 лет;
S тыс. руб. – сумма взятая в кредит в банке;
| Год | 100%+10%=110% (январь) | Платёж (февраль – июнь) | Долг на конец года |
| 0 | S | ||
| 1 | S·1,1 | x | 1,1S – x |
| 2 | (1,1S – x)·1,1 | x | (1,1S – x)·1,1 – x |
| 3 | ((1,1S – x)·1,1 – x)·1,1 | x | ((1,1S – x)·1,1 – x)·1,1 – x |
Зная, что в последний год кредит будет погашен полностью, получаем уравнение:
((1,1S – x)·1,1 – x)·1,1 – x = 0
(1,12S – 1,1x – x)·1,1 – x = 0
1,13S – 1,12x – 1,1x – x = 0
\frac{11}{10}3S – \frac{11}{10}2x – \frac{11}{10}x – x = 0
\frac{1331}{1000}S – \frac{121}{100}x – \frac{11}{10}x – x = 0
\frac{1331}{1000}S – \frac{331}{100}x = 0
Выразим S:
3x – S = 40980
–S = 40980 – 3x
S = –40980 + 3x
S = 3x – 40980
Подставим значение S:
\frac{1331}{1000}(3x – 40980) – \frac{331}{100}x = 0
\frac{1331·3}{1000}x – \frac{1331·40980}{1000} – \frac{331}{100}x= 0\:{\color{Blue} |\cdot 1000} \\1331·3x-1331·40980-331\cdot 10x= 0\\3993x-3310x=1331·40980\\683x=1331·40980\:{\color{Blue} |: 683}\\x=1331·60\\x=79860
Найдём S:
S = 3x – 40980 = 3·79860 – 40980 = 198600 рублей
Ответ: 198600 руб.