15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 25,2 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
Источник: statgrad
Решение:
S = 25,2 млн рублей, сумма взятого кредита;
% каждый месяц = 5% = 0,05;
х тыс. рублей – сумма на которую долг уменьшается каждый месяц с 1-го по 36-й;
Общая сумма платежей в 2029 году – ? тыс. рублей;
| Месяц | Долг начальный | % | Выплаты (x + %) | Остаток долга (долг начальный + % – выплата) |
| 1 | S | 0,05·S | x + 0,05·S | S – x |
| 2 | S – x | 0,05·(S – x) | x + 0,05·(S – x) | S – 2x |
| 3 | S – 2x | 0,05·(S – 2x) | x + 0,05·(S – 2x) | S – 3x |
| . . . | … | … | … | … |
| 35 | S – 34x | 0,05·(S – 34x) | x + 0,05·(S – 34x) | S – 35x |
| 36 | S – 35x | 0,05·(S – 35x) | x + 0,05·(S – 35x) | S – 36x = 0 |
Зная, что остаток долга после выплаты в последний 36 месяц станет равен 0, найдём х:
S – 36x = 0
25,2 – 36x = 0
25,2 = 36x
x = 25,2/36 = 0,7 млн рублей
Складываем выплаты за 2029 год и упрощаем выражение:
x + 0,05·(S – 24x) + x + 0,05·(S – 25x) + x + 0,05·(S – 26x) + … + x + 0,05·(S – 35x) = 12x + 0,05·(12S – (24x + 25x + 26x + … + 35x) = 12x + 0,05·(12S – 354x) = 12x + 0,6S – 17,7x = 0,6S – 5,7x
Подставим известные значения:
0,6S – 5,7x = 0,6·25,2 – 5,7·0,7 = 11,13 млн рублей
Ответ: 11,13 млн рублей.