В июле 2026 года планируется взять кредит на шесть лет в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2031 и 2032 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1470 тыс. рублей. Найдите r.
Источник: statgrad
Решение:
S = 900 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
% = r% = \frac{r}{100} = k;
x – величина на которую уменьшается долг первые 4 года;
у – величина на которую уменьшается долг следующие 2 года;
S = 4x + 2y = 900 тыс. рублей;
Сумма всех платежей = 1470 тыс. рублей.
| Год | Долг начальный | % (январь) | Платёж (x или y + %) (февраль – июнь) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль) |
| 2026 | 4x + 2y | – | – | – |
| 2027 | 4x + 2y | 4x + 2y + k·(4x + 2y) | x + k·(4x + 2y) | 4x + 2y + k·(4x + 2y) – (x + k·(4x + 2y)) = 3x + 2y |
| 2028 | 3x + 2y | 3x + 2y + k·(3x + 2y) | x + k·(3x + 2y) | 3x + 2y + k·(3x + 2y) – (x + k·(3x + 2y)) = 2x + 2y |
| 2029 | 2x + 2y | 2x + 2y + k·(2x + 2y) | x + k·(2x + 2y) | 2x + 2y + k·(2x + 2y) – (x + k·(2x + 2y)) = x + 2y |
| 2030 | x + 2y | x + 2y + k·(x + 2y) | x + k·(x + 2y) | x + 2y + k·(x + 2y) – (x + k·(x + 2y)) = 2y |
| 2031 | 2y | 2y + k·2y | y + k·2y | 2y + k·2y – (y + k·2y) = y |
| 2032 | y | y + k·y | y + k·y | y + k·y – (y + k·y) = 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
x + k·(4x + 2y) + x + k·(3x + 2y) + x + k·(2x + 2y) + x + k·(x + 2y) + y + k·2y + y + k·y = 4x + 2y + k·(4x + 2y + 3x + 2y + 2x + 2y + x + 2y + 2y + y) = 4x + 2y + k·(10x + 11y)
По условию сумма всех платежей равна 1470 тыс. рублей:
4x + 2y + k·(10x + 11y) = 1470
Знаем, что 4x + 2y = 900, тогда 2x + y = 450, подставим и получим:
4x + 2y + k·(10x + 11y) = 1470
900 + k·(5·(2x + y) + 6y) = 1470
900 + k·(5·450 + 6y) = 1470
k·(5·450 + 3·2y) = 1470 – 900
k·(2250 + 3·2y) = 570
По условию, долг (2y) в конце 2030 года равен 200 тыс. рублей, подставим:
k·(2250 + 3·2y) = 570
k·(2250 + 3·200) = 570
k·2850 = 570
k = 570/2850
k = 0,2
Найдём r:
k = \frac{r}{100}
0,2 = \frac{r}{100}
r = 0,2·100
r = 20%
Ответ: 20%.