Производство х тыс. единиц продукции обходится в q = 3х2 + 6х + 13 млн рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет рх – q. При каком наименьшем значении р через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х?
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
Подставим значение q, запишем чему равна годовая прибыль:
f(х) = рх – q = рх – (3х2 + 6х + 13) = рх – 3х2 – 6х – 13 = –3х2 + (p – 6)х – 13
График данной функции – парабола ветви направлены вниз, наибольшее значение функции и точка максимума, будет в вершине параболы, а значит и максимальная годовая прибыль будет в этой точке.
По формуле вершины параболы найдём значение х вершины параболы:
x=\frac{–b}{2a}=\frac{–(p–6)}{2\cdot (–3)}=\frac{p–6}{6}
При данном значении х, достигается наибольшая прибыль за один год, найдём её:
f(\frac{p–6}{6})=-3(\frac{p–6}{6})^{2} + (p – 6)(\frac{p–6}{6}) – 13=-\frac{(p–6)^{2}}{12}+\frac{(p–6)^{2}}{6}-13=\frac{–(p–6)^{2}+2(p–6)^{2}}{12}-13=\frac{(p–6)^{2}}{12}-13
Найдём наименьшее значение р через 5 лет, при суммарной прибыли не менее 50 млн. рублей:
5\cdot (\frac{(p–6)^{2}}{12}-13)\ge 70\\\frac{5\cdot (p–6)^{2}}{12}-65\ge 70\\\frac{5\cdot (p–6)^{2}}{12}\ge 135\:{\color{Blue} |: 5}\\\frac{(p–6)^{2}}{12}\ge 27\:{\color{Blue} |\cdot 12}\\ (p–6)^{2}\ge 324\\(p–6)^{2}-324\ge 0
Решим методом интервалов:
(р – 6)2 – 324 = 0
(р – 6)2 = 324
р – 6 = √324
р – 6 = 18
p = 18 + 6 = 24
или
р – 6 = –√324
р – 6 = –18
p = –18 + 6 = –12
р ∈ (–∞; –12] ∪ [24; +∞)
Наименьшее подходящее (р ≥ 0 т.к. это тыс. рублей) значение р равно 24.
Ответ: 24.