Решение №1271 Найдите точку минимума функции y = (x + 8)^2·e^(– x – 3)

Решение:

y = (x + 8)²·e^{– x – 3}

    Найдем производную функции:

    y′ = ((x + 8)²)′·e^–x–3 + (x + 8)²·(e^–x–3)′ = 2(x + 8)·e^–x–3 + (x + 8)²·(–e^–x–3) = e^–x–3 ·(2(x + 8) – (x + 8)²) = e^–x–3 ·(–x² – 14x – 48)

    Найдем нули производной:

e^–x–3 ·(–x² – 14x – 48) = 0
e^–x–3 > 0 всегда
–x² – 14x – 48 = 0
x² + 14x + 48 = 0
Через дискриминант находим корни уравнения:

х₁ = –8
х₂ = –6

    Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

    Точка минимума: х = – 8.

Ответ: –8.