Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся обратно в пункт А в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
Источник: statgrad
Решение:
Катер был в пути:
15:00 – 11:00 = 4 часа
И минус 1 час 20 минут остановка:
4 часа – 1 час 20 минут = 2 часа 40 минут = 2\frac{40}{60}=2\frac{2}{3}=\frac{8}{3} часа
Обозначим скорость катера за х, тогда по течению он плыл х + 3 км/ч, а против течения х – 3 км/ч.
По течению 15 км он проплыл за:
\frac{15}{x+3} часов
Против течения 15 км проплыл за:
\frac{15}{x–3} часов
Получили уравнение:
\frac{15}{x+3}+\frac{15}{x-3}=\frac{8}{3}\:{\color{Blue} |\cdot 3}\\ \frac{45}{x+3}+\frac{45}{x-3}=8\\\frac{45(x-3)+45(x+3)}{(x+3)(x-3)}=8\\\frac{45x-135+45x+135}{x^{2}-9}=8\\\frac{90x}{x^{2}-9}=8\\(x^{2}-9)\cdot 8=90x\\8x^{2}-72=90x\\8x^{2}-90x-72=0\:{\color{Blue} |: 2}\\4x^{2}-45x-36=0\\D=(-45)^{2}-4\cdot 4\cdot (-36)=2601=51^{2}\\x_{1}=\frac{45+51}{2\cdot 4}=\frac{96}{8}=12\\x_{2}=\frac{45-51}{2\cdot 4}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}\:{\color{Blue} <0\:\notin }
Скорость катера равна 12 км/ч.
Ответ: 12.