Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 3, а основание AC равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы AL и CM. Найдите длину отрезка LM.
Источник: fioco.ru
Решение:
Треугольники AMC и CLA равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, AM = CL. Тогда BM = BL, и треугольник MBL подобен треугольнику ABC, а потому угол BAC равен углу BML. Следовательно, прямые ML и AC параллельны, поэтому угол MLA равен углу MAL. Значит, треугольник AML равнобедренный: ML = AM. Пусть AM = ML = LC = x.
Из подобия треугольников MBL и ABC получаем:
\frac{BM}{AB}=\frac{ML}{AC}\\\frac{3-x}{3}=\frac{x}{2}\\x=1,2
Ответ: 1,2.