Боковые стороны AB и CD прямоугольной трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Источник: fioco.ru
Решение:
Пусть биссектриса угла ADC пересекает сторону AB в точке M, а продолжение стороны CB – в точке E вне трапеции. Угол CED равен углу ADE и равен углу CDE, поэтому треугольник ECD равнобедренный, значит EC = CD = 41. Треугольники EBM и DAM равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому AD = BE.
Проведём отрезок CF перпендикулярно стороне AD. Поскольку трапеция ABCD прямоугольная, CF = AB = 40. Сторона FD прямоугольного треугольника CFD равна \sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=9.
Тогда AD = BC + 9, а EC = AD + BC = 2BC + 9 = 41, следовательно, BC = 16 и AD = 25.
Площадь трапеции ABCD равна \frac{AD+BC}{2}\cdot CF=\frac{25+16}{2}\cdot 40=820.
Ответ: 820.