На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками.
Источник: fioco.ru
Решение:
За круглым столом разместились 5 человек: Паша и две девочки с одинаковыми именами Маша, а также два мальчика с одинаковыми именами Саша. Нам нужно, чтобы Паша оказался ровно между двумя тёзками, то есть чтобы по обе стороны от него сидели либо обе Маши, либо оба Саши.
Пусть Паша уже сидит на каком-то определённом месте, будем считать его место фиксированным. Тогда оставшиеся 4 человека можно расставить на 4 свободных стула 4! = 24 разными способами. Это общее число всех возможных рассадок.
Теперь разберём, сколько из них подходят под условие.
Случай первый: рядом с Пашей садятся Маши. Их можно поменять местами слева и справа – получается 2 варианта. После этого оставшиеся два места занимают Саши, их тоже можно переставить между собой – ещё 2 варианта. Значит, для этого случая есть 2·2 = 4 удачные рассадки.
Случай второй: рядом с Пашей садятся Саши. Здесь всё точно так же: Саши по бокам можно переставить 2 способами, а Маши на оставшиеся места – ещё 2 способами. Итого снова 4 варианта.
Складываем оба случая: 4 + 4 = 8 благоприятных исходов.
Осталось найти вероятность: делим число подходящих вариантов на общее число всех вариантов. Получаем \frac{8}{24}=\frac{1}{3}.
Ответ: \frac{1}{3}.