Решение №948 Для подготовки в престижный университет школьник решал в течение 30 дней задачи.

Для подготовки в престижный университет школьник решал в течение 30 дней задачи. Для достижения прогресса он ежедневно увеличивал количество рассматриваемых им задач на одно и то же число. После подготовки школьник посчитал, что общее количество рассмотренных им задач за первые двадцать дней равно количеству задач, рассмотренных за последние десять дней. Во сколько раз больше он рассмотрел задач за последние пятнадцать дней по сравнению с первыми пятнадцатью днями?

Решение:

Пусть в первый день школьник решил a₁ и каждый день он увеличивал кол-во решенных задач на d.
n – номер дня.
По формуле суммы арифметической прогрессии:

$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$ где a_n = a₁ + (n – 1)·d
Тогда сумма арифметической прогрессии равна:

$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n$

По условию, в первые 20 дней, он решил столько же сколько в последние 10 дней:

S₂₀ = S_{последние 10}
S₂₀ = S₃₀ – S₂₀

$S_{20}=\frac{2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d}{2}\cdot 20$

$S_{30}=\frac{2\cdot a_{1}+(30-1)\cdot d}{2}\cdot 30$

$\frac{2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d}{2}\cdot 20=\frac{2\cdot a_{1}+(30-1)\cdot d}{2}\cdot 30-\frac{2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d}{2}\cdot 20$

$\frac{2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d}{2}\cdot 20+\frac{2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d}{2}\cdot 20=\frac{2\cdot a_{1}+(30-1)\cdot d}{2}\cdot 30$

$2\cdot \frac{2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d}{2}\cdot 20=\frac{2\cdot a_{1}+(30-1)\cdot d}{2}\cdot 30$

$(2\cdot a_{1}+(20-1)\cdot d)\cdot 20=(2\cdot a_{1}+(30-1)\cdot d)\cdot 15$

$(2\cdot a_{1}+19\cdot d)\cdot 20=(2\cdot a_{1}+29\cdot d)\cdot 15$

$(2\cdot a_{1}+19\cdot d)\cdot 4=(2\cdot a_{1}+29\cdot d)\cdot 3$

$8\cdot a_{1}+76\cdot d=6\cdot a_{1}+87\cdot d$

$8\cdot a_{1}-6\cdot a_{1}=87\cdot d-76\cdot d$

$2\cdot a_{1}=11\cdot d$

${\color{Blue} \frac{a_{1}}{d}}=\frac{11}{2}={\color{Blue} 5,5}$

Найдём во сколько раз больше решил задач в последние 15 дней по сравнению с первыми 15 днями:

$\frac{S_{30}-S_{15}}{S_{15}}=\frac{\frac{2a_{1}+(30-1)\cdot d}{2}\cdot 30-\frac{2a_{1}+(15-1)\cdot d}{2}\cdot 15}{\frac{2a_{1}+(15-1)\cdot d}{2}\cdot 15}=\frac{\frac{2a_{1}+(30-1)\cdot d}{2}\cdot 30}{\frac{2a_{1}+(15-1)\cdot d}{2}\cdot 15}-1=\frac{(2a_{1}+(30-1)\cdot d)\cdot 2}{2a_{1}+(15-1)\cdot d}-1=\frac{4a_{1}+58d}{2a_{1}+14d}-1=\frac{2a_{1}+29d}{a_{1}+7d}-1=\frac{2\cdot {\color{Blue} \frac{a_{1}}{d}}+29}{{\color{Blue} \frac{a_{1}}{d}}+7}-1=\frac{2\cdot {\color{Blue} 5,5}+29}{{\color{Blue} 5,5}+7}-1=\frac{40}{12,5}-1=3,2 - 1 = 2,2$

Ответ: 2,2.