Решение №947 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N ...

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что AM : MB = 2 : 3 и BN : NC = 4 : 9. Найдите площадь четырехугольника AMNC, если площадь треугольника АВС равна 130.

Решение:

Площадь четырёхугольника AMNC равна:

S_AMNC = S_ΔABC – S_ΔBMN = 130 – S_ΔBMN

Площадь треугольника АВС:

S_ΔABC = ${\color{Blue} \frac{1}{2}}$ ·AB·BC·sin ∠B = 130

Выразим стороны ΔBMN через стороны ΔABC:
$BM=\frac{3}{5}AB$

$BN=\frac{4}{13}BC$

Найдём площадь треугольника BMN:

$S_{\Delta BMN}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot BN\cdot sin \angle B=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot AB\cdot \frac{4}{13}\cdot BC\cdot sin \angle B=\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{13}\cdot {\color{Blue} \frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sin \angle B}=\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{13}\cdot{\color{Blue} 130}=3\cdot 4\cdot 2=24$

Найдём площадь четырёхугольника AMNC:

S_AMNC = S_ΔABC – S_ΔBMN = 130 – 24 = 106

Ответ: 106.