Решение №1564 На основании равнобедренного треугольника построен правильный треугольник, площадь которого в 3 раза больше площади данного.

На основании равнобедренного треугольника построен правильный треугольник, площадь которого в 3 раза больше площади данного. Найдите наибольший угол исходного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Источник задания: alexlarin.net

Решение:

Требуется найти наибольший угол равнобедренного ΔАВС им будет являться ∠В иначе, ΔАСD не будет в 3 раза больше данного.

$\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\frac{3}{1}$

$\frac{\frac{1}{2}AC\cdot OD}{\frac{1}{2}AC\cdot OB} =\frac{3}{1}$

$\frac{OD}{OB} =\frac{3}{1}$

OD = 3·OB

Зная, что OD = 3·OB выразим ОB из тангенса угла OAD:

$tg\, \angle OAD=tg\, \angle 60^{\circ}=\frac{OD}{AO}$

$\sqrt{3}=\frac{OD}{AO}$

$\sqrt{3}=\frac{3\cdot OB}{AO}$

$OB=\frac{\sqrt{3}\cdot AO}{3}$

Выразим тангенс угла ABO:

$tg\, \angle ABO=\frac{AO}{OB}$

$tg\, \angle ABO=\frac{AO}{\frac{\sqrt{3}\cdot AO}{3}}=\frac{3{\color{Blue} \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{3}{\color{Blue} \cdot \sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$

$\angle ABO=60^{\circ}$

Искомый угол В в 2 раза больше:

∠В = 2·∠АВО = 2·60° = 120°

Ответ: 120.