Решение №819 В треугольнике АВС угол С равен 46º, АD и ВЕ

В треугольнике АВС угол С равен 46º, АD и ВЕ –биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Источник: mathege

Решение:

В треугольнике АВС углы А и В делятся биссектрисами пополам.

Неизвестный угол АОВ обозначим за х.
Сумма углов треугольника равна 180°. Для треугольника АОВ:

α + β + х = 180°

Для треугольника АВС:

2α + 2β + 46° = 180°

Решим систему уравнений и найдём х:

$\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta +x=180\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2\alpha +2\beta +46=180 \: \: {\color{Blue} |:2} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta +x=180 \\ \alpha +\beta +23=90 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta +x=180 \\ \alpha +\beta=90 - 23 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta +x=180 \\ \alpha +\beta=67 \end{matrix}\right.$

$67 +x=180$

$x=180 -67 =113^{\circ}$

Ответ: 113.