Решение №2073 В треугольнике ABC AC=37,5, BC= 20, угол C равен 90°.

В треугольнике ABC AC = 37,5, BC = 20, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

Источник: Пробный ЕГЭ 2019.

Решение:

Радиус будем находить через площадь треугольника:

S_Δ = pr

По теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:

$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{20^{2}+37,5^{2}}=\sqrt{1806,25}=42,5$

Найдём периметр ΔАВС:

P = АС + ВС + АВ = 37,5 + 20 + 42,5 = 100

Найдём полупериметр ΔАВС:

$p=\frac{P}{2}=\frac{100}{2}=50$

Найдём площадь ΔАВС:

$S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 37,5\cdot 20=37,5\cdot 10 = 375$

Найдём радиус:

375 = 50·r
$r=\frac{375}{50}=7,5$

Ответ: 7,5.