Решение №2074 Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82+41√2.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источник: mathege

Решение:

Радиус будем находить через площадь треугольника:

S_Δ = pr

Катеты треугольника АВС равны:

АС = ВС = 82 + 41√2 = 41(2 + √2)

По теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:

$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(41(2+\sqrt{2}))^{2}+(41(2+\sqrt{2}))^{2}}=\sqrt{2\cdot (41(2+\sqrt{2}))^{2}}=41(2+\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=41(2\sqrt{2}+2)=41\cdot 2\cdot (1+\sqrt{2})=82\cdot (1+\sqrt{2})$

Найдём полупериметр ΔАВС:

$p=\frac{P}{2}=\frac{AC+BC+AB}{2}=\frac{41(2+\sqrt{2})+41(2+\sqrt{2})+82\cdot (1+\sqrt{2})}{2}=\frac{2\cdot 41(2+\sqrt{2})+82\cdot (1+\sqrt{2})}{2}=\frac{82(2+\sqrt{2}+1+\sqrt{2})}{2}=41(3+2\sqrt{2})$