Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников АВЕ и CЕD равна половине площади параллелограмма.
Источник: Ященко ОГЭ 2026 (36 вар.)
Решение:
Проведём, через произвольную точку Е, высоту параллелограмма MH, части которой ЕM и ЕH будут являться высотами треугольников:
Площадь параллелограмма ABCD находится следующим образом:
S_{ABCD}=AB\cdot MH
Выразим сумму площадей треугольников ΔABЕ и ΔCЕD:
S_{\Delta ABE}+S_{\Delta CED}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot EH+\frac{1}{2}\cdot DC\cdot EM=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot EH+\frac{1}{2}\cdot AB\cdot EM=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot (EH+EM)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot MH=\frac{AB\cdot MH}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}
Что и требовалось доказать.