Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Источник: statgrad
Решение:
Расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Значит требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки P к прямым BC, CD и AD, т.е. PK = PM = PN.
Рассмотрим прямоугольные ΔPКC и ΔPMC. ∠PКC = ∠PMC = 90º. ∠PCK = ∠PCM (т.к. CP – биссектриса ∠BCD по условию). Гипотенуза PC – общая.
Следовательно, ∆PКC = ∆PMC (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
PK = PM
Аналогично, из равенства прямоугольных ΔPMD и ΔPND (∠PDM = ∠PDN, т.к. DP – биссектриса; гипотенуза PD общая), следует:
PM = PN
Тогда, PK = PM и PM = PN, значит:
PK = PM = PN
Что и требовалось доказать.