Точка F – середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а AB = BC + AD. Докажите, что AF – биссектриса угла BAD.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
Продолжим основание ВС трапеции АВСD и биссектрису АF угла ВАD до пересечения в точке К:
Рассмотрим ΔАFD и ΔСFК они подобны по двум равным углам: ∠АFD = ∠CFК как вертикальные, ∠FАD = ∠FКС как накрест лежащие при AD||ВК и секущей АК. Тогда в них соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:
\frac{AD}{CK}=\frac{FD}{FC}
По условию FD = FС, т.к. F середина стороны СD, тогда:
\frac{AD}{CK}=\frac{FD}{FC}\\\frac{AD}{CK}=\frac{1}{1}\\AD=CK
Получается, что сумма оснований трапеции BC + AD равна стороне BK, то есть BK = BC + CK. По условию AB = BC + AD, значит AB = BK. Таким образом, треугольник ABK равнобедренный, т.к. его боковые стороны равны. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAK = ∠BKA. Поскольку ∠FAD = ∠FKC (это было доказано ранее), то также ∠FAD = ∠BAK. Следовательно, AF является биссектрисой угла ∠BAD.
Что и требовалось доказать.