Решение №5257 Точка T – середина боковой стороны CD трапеции ABCD, а AT – биссектриса угла BAD.

Решение:

    Продолжим основание ВС трапеции АВСD и биссектрису АТ угла ВАD до пересечения в точке К:

    Рассмотрим ΔАТD и ΔСТК они подобны по двум равным углам: ∠АТD = ∠CТК как вертикальные, ∠ТАD = ∠ТКС как накрест лежащие при AD||ВК и секущей АК. Тогда в них соответствующие стороны пропорциональны, запишем их отношение:

\frac{AD}{CK}=\frac{TD}{TC}

    По условию ТD = ТС, т.к. Т середина стороны СD, тогда:

\frac{AD}{CK}=\frac{TD}{TC}\\\frac{AD}{CK}=\frac{1}{1}\\AD=CK

    Получается сумма оснований трапеции BC + AD равна стороне ВК = ВС + СК. 
    ∠ВАК = ∠ВКА (AT – биссектриса угла BAD и ∠ТАD = ∠ТКС как накрест лежащие при AD||ВК и секущей АК) значит ΔАВК ранобедренный, боковые стороны в нём равны:

АВ = ВК
АВ = BC + AD

    Что и требовалось доказать.