Решение №5674 Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку N.

Решение:

    Проведём, через произвольную точку N, высоту параллелограмма MH, части которой NM и NH будут являться высотами треугольников:

    Площадь параллелограмма ABCD находится следующим образом:

S_{ABCD}=AB\cdot MH

    Выразим сумму площадей треугольников ΔABN и ΔCND:

S_{\Delta ABN}+S_{\Delta CND}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot NH+\frac{1}{2}\cdot DC\cdot NM=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot NH+\frac{1}{2}\cdot AB\cdot NM=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot (NH+NM)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot MH=\frac{AB\cdot MH}{2}=\frac{S_{ABCD}}{2}

    Уже доказано, что S_ΔABN + S_ΔCND = половине площади параллелограмма АВСD. Весь параллелограмм состоит из четырёх треугольников: ΔABN, ΔBNC, ΔCND и ΔAND. Если S_ΔABN + S_ΔCND – это одна половина, значит, два оставшихся треугольника, S_ΔBNC + S_ΔAND, – это вторая половина. Половина равна половине. Следовательно:

S_ΔABN + S_ΔCND = S_ΔBNC + S_ΔAND

    Что и требовалось доказать.