Решение №4573 Постройте график функции y = x^2

Постройте график функции y = x² – 4|x| + 3. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Источник: statgrad

Решение:

y=x^{2}-4|x|+3=\begin{cases} x^{2}-4\cdot (+x)+3 \\ x^{2}-4\cdot (-x)+3\end{cases}=\begin{cases} x^{2}-4x+3,\color{Blue} x\ge 0 \\ x^{2}+4x+3,\color{Blue} x\lt 0\end{cases}

Парабола №1:

y₁ = x² – 4x + 3, x ≥ 0, ветви направлены вверх;

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{1,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–(–4)}{2\cdot 1}=2$
y_1,верш (2) = 2² – 4·2 + 3 = –1
(2; –1) – вершина параболы

x	0	1	3	4
y	3	0	0	3

Парабола №2:

y₁ = x² + 4x + 3, x < 0, ветви направлены вверх;

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–4}{2\cdot 1}=-2$
y_2,верш (–2) = (–2)² + 4·(–2) + 3 = –1
(–2; –1) – вершина параболы

x	–1	–3	–4
y	0	0	3

На графике провёл пример одной из прямых параллельной оси абсцисс, имеющей наибольшее число общих точек – 4 общих точки.

Ответ: 4.