Постройте график функции
y = |x2 + 4x – 5|.
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Источник: statgrad
Решение:
Найдем корни уравнения под модульного уравнения:
x2 + 4x – 5 = 0
D = 42 – 4·1·(–5) = 16 + 20 = 36 = 62
x_{1}=\frac{-4+6}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1\\x_{2}=\frac{-4-6}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5
Определим на каких промежутках функция положительна/отрицательна:
Раскроем знак модуля и представим функцию в виде:
| y = |x^{2} + 4x – 5|=\begin{cases} +(x^{2} + 4x – 5){\color{Blue} ,x<-5\:или\:x>1} \\ -(x^{2} + 4x – 5) {\color{Blue} ,x∈[-5;1]}\end{cases}=\begin{cases} x^{2} + 4x – 5{\color{Blue} ,x<-5\:или\:x>1} \\ -x^{2} – 4x + 5 {\color{Blue} ,x∈[-5;1]}\end{cases} |
Графиками являются части двух парабол на определённых промежутках, построим их:
График функции имеет наибольшее число общих точек с прямой у = m, когда она пересекает его 4 раза (пример одной из таких прямых показан на рисунке синей линией).
Ответ: 4.
Решение подобного задания другим способом здесь.