Решение №4520 Постройте график функции y = 2|x - 4| - x^2 + 9x

Постройте график функции

y = 2|x – 4| – x² + 9x – 20.

Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общей точки.

Источник: ОГЭ Ященко 2024 (50 вар)

Решение:

y=2|x-4|-x^{2}+9x-20=\begin{cases} 2(+(x-4))-x^{2}+9x-20,\color{Blue} для \:x-4\ge 0,x\ge 4 \\ 2(-(x-4))-x^{2}+9x-20,\color{Blue} для \:x-4\lt 0,x<4 \end{cases}=\begin{cases} 2x-8-x^{2}+9x-20 \\ -2x+8-x^{2}+9x-20 \end{cases}=\begin{cases} -x^{2}+11x-28 \\ -x^{2}+7x-12 \end{cases}

Парабола №1:

y₁ = –x² + 11x – 28, x ≥ 4, ветви направлены вниз;

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{1,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–11}{2\cdot (–1)}=5,5$
y_1,верш (5,5) = –5,5² + 11·5,5 – 28 = 2,25
(5,5; 2,25) – вершина параболы

x	4	5	6	7
y	0	2	2	0

Парабола №2:

y₁ = –x² + 7x – 12, x < 4, ветви направлены вниз;

Найдём координаты вершины параболы:

$x_{2,верш}=\frac{–b}{2a}=\frac{–7}{2\cdot (–1)}=3,5$
y_2,верш (3,5) = –3,5² + 7·3,5 – 12 = 0,25
(3,5; 0,25) – вершина параболы

x	2	3
y	–2	0

Ответ: 0; 0,25.