Расстояние между пристанями А и В равно 75 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 44 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
х – скорость лодки в неподвижной воде
Плот плыл со скоростью течения реки 4 км/ч, проплыл 44 км. Найдём время плота:
44/4 = 11 часов
Лодка отправилась в путь на 1 час позже, значит в пути она была:
11 – 1 = 10 часов
Лодка проплыла по течению 75 км, со скоростью х + 4 км/ч и против течения 75 км со скоростью х – 4 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{75}{x+4}, а на путь против течения \frac{75}{x–4}. Зная что всего лодка была в пути 10 часов, составим уравнение:
\frac{75}{x+4}+\frac{75}{x–4}=10\:{\color{Blue} |: 5}\\\frac{15}{x+4}+\frac{15}{x–4}=2\\\frac{15\cdot (x–4)+15\cdot (x+4)}{(x+4)\cdot (x–4)}=2\\\frac{15\cdot (x–4+x+4)}{x^{2}–16}=2\\\frac{15\cdot 2x}{x^{2}–16}=2
2·(x2 – 16) = 15·2x
2x2 – 15·2x – 2·16 = 0 |:2
x2 – 15x – 16 = 0
D = (–15)2 – 4·1·(–16) = 289 = 172
x_{1}=\frac{15–17}{2\cdot 1}=\frac{–2}{2}=-1\:{\color{Blue} < 0\notin }
x_{2}=\frac{15+17}{2\cdot 1}=\frac{32}{2}=16
Полученное уравнение имеет единственный положительный корень 16, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: 16.