Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Источник: Ященко ОГЭ 2025 (36 вар.)
Решение:
х – скорость лодки в неподвижной воде
Плот плыл со скоростью течения реки 3 км/ч, проплыл 51 км. Найдём время плота:
51/3 = 17 часов
Лодка отправилась в путь на 2 часа позже, значит в пути она была:
17 – 2 = 15 часов
Лодка проплыла по течению 108 км, со скоростью х + 3 км/ч и против течения 108 км со скоростью х – 3 км/ч.
Время потраченное на путь по течению равно \frac{108}{x+3}, а на путь против течения \frac{108}{x–3}. Зная что всего лодка была в пути 15 часов, составим уравнение:
\frac{108}{x+3}+\frac{108}{x–3}=15\:{\color{Blue} |: 3}\\\frac{36}{x+3}+\frac{36}{x–3}=5\\\frac{36\cdot (x–3)+36\cdot (x+3)}{(x+3)\cdot (x–3)}=5\\\frac{36\cdot (x–3+x+3)}{x^{2}–9}=5\\\frac{36\cdot 2x}{x^{2}–9}=5
5·(x2 – 9) = 36·2x
5x2 – 36·2x – 45 = 0
5x2 – 72x – 45 = 0
D = (–72)2 – 4·5·(–45) = 6084 = 782
x_{1}=\frac{72–78}{2\cdot 5}=\frac{–6}{10}=-0,6\:{\color{Blue} < 0\notin }
x_{2}=\frac{72+78}{2\cdot 5}=\frac{150}{10}=15
Полученное уравнение имеет единственный положительный корень 15, удовлетворяющий условию задачи.
Ответ: 15.