В обменном пункте можно совершить одну из прямых операций:
• за 6 золотых монет получить 5 серебряных и 7 медных.
• за 6 серебряных монет получить 4 золотых и 3 медных.
У Максима были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, но стало от 120 до 160 медных монет. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Максима?
Источник: Ященко ЕГЭб 2026 (30 вар.)
Решение:
Изначально у Максима были только серебряные монеты. Чтобы в конце золотых монет не осталось, нужно подобрать такое количество операций, чтобы всё полученное золото было полностью потрачено.
• Первый обмен: за 6 серебряных получаем 4 золотых и 3 медных.
• Второй обмен: за 6 золотых получаем 5 серебряных и 7 медных.
Минимальное число золотых монет, которое можно получить в первом обмене и полностью потратить во втором, должно делится и 4, и 6. Наименьшее общее кратное – 12.
Чтобы получить 12 золотых, нужно выполнить 3 операции первого обмена (3·4 = 12 золотых), отдав 3·6 = 18 серебряных и получив 3·3 = 9 медных.
Чтобы потратить 12 золотых, нужно выполнить 2 операции второго обмена (2·6 = 12 золотых), получив 2·5 = 10 серебряных и 2·7 = 14 медных.
После этого цикла изменение монет:
Серебряные: –18 + 10 = –8 (уменьшилось на 8)
Золотые: 12 – 12 = 0
Медные: 9 + 14 = 23
По условию, медных стало от 120 до 160. Т.к. за один цикл получаем 23 медных, подходит 6 циклов (23·6 = 138 меди).
Найдём на сколько уменьшилось количество серебряных монет у Максима, после всех обменов:
6·8 = 48 монет
Ответ: 48.