Решение №5831 Решите уравнение x^8 = (20 – x)^4.

Решение:

x⁸ = (20 − x)⁴
x⁸ – (20 − x)⁴ = 0
x^4·2 – (20 – x)^2·2 = 0
(x⁴)² – ((20 – x)²)² = 0

    По формуле разности квадратов:

(x⁴ – (20 – x)²)·(x⁴ + (20 – x)²) = 0
((x²)² – (20 – x)²)·(x⁴ + (20 – x)²) = 0

    По формуле разности квадратов:

(x² – (20 − x))·(x² + (20 – x))·(x⁴ + (20 – x)²) = 0
(x² – (20 − x))·(x² + (20 – x))·(x⁴ + (20 – x)²) = 0
(x² + x – 20)·(x² − x + 20)·(x⁴ + (20 – x)²) = 0

    Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

х² + х – 20 = 0
D = 1² – 4·1·(–20) = 81, \sqrt{D}=\sqrt{81}=9
x_{1}=\frac{-1+9}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4\\x_{2}=\frac{-1-9}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5

или

х² – х + 20 = 0
D = (–1)² – 4·1·20 = –79 < 0 корней нет

или

x⁴ + (20 – x)² = 0
    Оба слагаемых вседа ≥ 0, при этом первое слагаемое равно 0, только при х = 0, а второе слагаемое равно 0, только при х = 20, поэтому сумма этих слагаемых никогда не будет равна 0, значит корней нет.

Ответ: –5; 4.