Решение №5830 Решите уравнение x^8 = (12 – x)^4.

Решение:

x⁸ = (12 − x)⁴
x⁸ – (12 − x)⁴ = 0
x^4·2 – (12 − x)^2·2 = 0
(x⁴)² – ((12 − x)²)² = 0

    По формуле разности квадратов:

(x⁴ – (12 – x)²)·(x⁴ + (12 – x)²) = 0
((x²)² – (12 – x)²)·(x⁴ + (12 – x)²) = 0

    По формуле разности квадратов:

(x² – (12 − x))·(x² + (12 – x))·(x⁴ + (12 – x)²) = 0
(x² – (12 − x))·(x² + (12 – x))·(x⁴ + (12 – x)²) = 0
(x² + x – 12)·(x² − x + 12)·(x⁴ + (12 – x)²) = 0

    Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

х² + х – 12 = 0
D = 1² – 4·1·(–12) = 49, \sqrt{D}=\sqrt{49}=7
x_{1}=\frac{-1+7}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\\x_{2}=\frac{-1-7}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4

или

х² – х + 12 = 0
D = (–1)² – 4·1·12 = –47 < 0 корней нет

или

x⁴ + (12 – x)² = 0
    Оба слагаемых вседа ≥ 0, при этом первое слагаемое равно 0, только при х = 0, а второе слагаемое равно 0, только при х = 12, поэтому сумма этих слагаемых никогда не будет равна 0, значит корней нет.

Ответ: –4; 3.