Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)

Решение:

а) Пусть первый член последовательности равен х, тогда сумма последовательности из 3-х членов, может выглядеть следующим образом:

х + 7·х + 7·7·х = х + 7х + 49х = 57х

    По условию сумма равна 9177:

57х = 9177
х = 9177/57 = 161

    Делится нацело, значит последовательность может состоять из 3-х членов:

х1 = 161
х2 = 7·161 = 1127
х3 = 7·1127 = 7889

х1 + х2 + х3 = 161 + 1127 + 7889 = 9177

б) Сумма последовательности из 5-х членов, может выглядеть следующим образом:

х + 7х + 49х + 343х + 2401х = 2801х
2801х = 9177
х = 9177/2801 нацело не делится

х + 7х + х + 7х + х = 17х
17х = 9177
х = 9177/17 нацело не делится

    Пусть первый член последовательности равен 7х, тогда:

7х + х + 7х + х + 7х = 23х
23х = 9177
х = 9177/23 = 399

    Делится нацело, значит последовательность может состоять из 5 членов:

х1 = 7х = 7·399 = 2793
х2 = х = 399
х3 = 7х = 7·399 = 2793
х4 = х = 399
х5 = 7х = 7·399 = 2793

х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 2793 + 399 + 2793 + 399 + 2793 = 9177

в) Возьмём самый маленький первый член последовательности:

х1 = 1

    Тогда последовательность с наименьшими членами может выглядеть следующим образом:

1 + 7 + 1 + 7 + … + 1 (на одну 1 больше)
1 + 7 + 1 + 7 + … + 7 (равное количество 1 и 7)

    Сумма членов в каждом из них равна (а и b – количество 7 в каждой из последовательностей):

1·(а + 1) + 7·a = a + 1 + 7a = 8a + 1 – не чётное и 9177 нечётное, значит 9177 на 8a + 1 делится нацело;
b + 7·b = b – чётное, а 9177 нечётное, значит 9177 на 8·b не делится нацело;

8a + 1 = 9177
8a = 9177 – 1
8а = 9176
а = 9176/8 = 1147

    Значит в последовательности 1147 семёрок и 1147 + 1 = 1148 единиц, всего членов:

1147 + 1148 = 2295

Ответ: а) да; б) да; в) 2295.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.8 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.