Решение №3234 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего.

Решение:

а) Пусть первый член последовательности равен х, тогда сумма последовательности из 3-х членов, может выглядеть следующим образом:

х + 7·х + 7·7·х = х + 7х + 49х = 57х

    По условию сумма равна 9177:

57х = 9177
х = 9177/57 = 161

    Делится нацело, значит последовательность может состоять из 3-х членов:

х₁ = 161
х₂ = 7·161 = 1127
х₃ = 7·1127 = 7889

х₁ + х₂ + х₃ = 161 + 1127 + 7889 = 9177

б) Сумма последовательности из 5-х членов, может выглядеть следующим образом:

х + 7х + 49х + 343х + 2401х = 2801х
2801х = 9177
х = 9177/2801 нацело не делится

х + 7х + х + 7х + х = 17х
17х = 9177
х = 9177/17 нацело не делится

    Пусть первый член последовательности равен 7х, тогда:

7х + х + 7х + х + 7х = 23х
23х = 9177
х = 9177/23 = 399

    Делится нацело, значит последовательность может состоять из 5 членов:

х₁ = 7х = 7·399 = 2793
х₂ = х = 399
х₃ = 7х = 7·399 = 2793
х₄ = х = 399
х₅ = 7х = 7·399 = 2793

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 2793 + 399 + 2793 + 399 + 2793 = 9177

в) Возьмём самый маленький первый член последовательности:

х₁ = 1

    Тогда последовательность с наименьшими членами может выглядеть следующим образом:

1 + 7 + 1 + 7 + … + 1 (на одну 1 больше)
1 + 7 + 1 + 7 + … + 7 (равное количество 1 и 7)

    Сумма членов в каждом из них равна (а и b – количество 7 в каждой из последовательностей):

1·(а + 1) + 7·a = a + 1 + 7a = 8a + 1 – не чётное и 9177 нечётное, значит 9177 на 8a + 1 делится нацело;
1·b + 7·b = 8·b – чётное, а 9177 нечётное, значит 9177 на 8·b не делится нацело;

8a + 1 = 9177
8a = 9177 – 1
8а = 9176
а = 9176/8 = 1147

    Значит в последовательности 1147 семёрок и 1147 + 1 = 1148 единиц, всего членов:

1147 + 1148 = 2295

Ответ: а) да; б) да; в) 2295.