Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй – 104, в третья – пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй – 50, в третьей – 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?
Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)
Решение:
На каждом ходе происходит следующее, в двух коробках по –1 камню, в одной коробке +2 камня.
а) Да, могло. Например:
| 1 коробка | 2 коробка | 3 коробка | |
| 95 | 104 | 0 | |
| –1 | –1 | +2 | 95 раз |
| 0 | 9 | 190 | |
| +2 | –1 | –1 | 3 раза |
| 6 | 6 | 187 | |
| –1 | –1 | +2 | 6 раза |
| 0 | 0 | 199 |
б) Нет, не могло.
Если в 1-й и 2-й коробке выполнять действия –1 и –1, то разница в камнях между коробками не изменится. Если для этих коробок выполнять действие –1 и –2 или –2 и –1, то разница в камнях изменяется на 3. Значит, какие бы действия не выполнялись с коробками разница камней между 1-й и 2-й коробкой всегда будет давать одинаковый остаток при делении на 3.
Изначально в коробках 95 и 104 камней, их разница:
95 – 104 = –9
Остаток от деления на 3:
\frac{–9}{3}=\color{Green} 0 (делится нацело)
По условию в 1-й коробке должно быть 100 камней, а во 2-й 50 камней.
Разница камней 1-й и 2-й коробки:
100 – 50 = 50
Остаток от деления на 3:
\frac{50}{3}=16\frac{\color{Green} 2}{3}
А должен быть остаток 0, получили противоречие.
в) В 1-й коробке 2 камня, подберём в 1-ю коробку наименьшее количество камней (что бы в 3-й коробке осталось набольшее количество камней), что бы разница давала при делении на 3 остаток 0:
1-я коробка = 2
2-я коробка = 2
Разница: 2 – 2 = 0
Остаток от деления на 3: 0
Меньше камней во 2-й коробке быть не может. Тогда в 3-й коробке:
199 – 2 – 2 = 195
| 1 коробка | 2 коробка | 3 коробка | |
| 95 | 104 | 0 | |
| –1 | –1 | +2 | 95 раз |
| 0 | 9 | 190 | |
| +2 | –1 | –1 | 3 раза |
| 6 | 6 | 187 | |
| –1 | –1 | +2 | 4 раз |
| 2 | 2 | 195 |
Ответ: а) да, б) нет, в) 195.