Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй – 104, в третья – пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в третьей коробке оказаться 199 камней?
б) Могло ли в первой коробке оказаться 100 камней, во второй – 50, в третьей – 49?
в) В первой коробке оказалось 2 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник: Ященко ЕГЭ 2023 (36 вар)

Решение:

    На каждом ходе происходит следующее, в двух коробках по –1 камню, в одной коробке +2 камня.
а) Да, могло. Например:

1 коробка2
коробка
3
коробка
 
951040 
–1–1+295 раз 
09190 
+2–1–1 3 раза
66187 
–1–1 +2  6 раза
00199  

б) Нет, не могло.
   
Если в 1-й и 2-й коробке выполнять действия –1 и –1, то разница в камнях между коробками не изменится. Если для этих коробок выполнять действие –1 и –2 или –2 и –1, то разница в камнях изменяется на 3. Значит, какие бы действия не выполнялись с коробками разница камней между 1-й и 2-й коробкой всегда будет давать одинаковый остаток при делении на 3.
    Изначально в коробках 95 и 104 камней, их разница:

95 – 104 = –9

    Остаток от деления на 3:

\frac{–9}{3}=\color{Green} 0 (делится нацело)

    По условию в 1-й коробке должно быть 100 камней, а во 2-й 50 камней.
    Разница камней 1-й и 2-й коробки:

100 – 50 = 50 

    Остаток от деления на 3:

\frac{50}{3}=16\frac{\color{Green} 2}{3}

    А должен быть остаток 0, получили противоречие.

в) В 1-й коробке 2 камня, подберём в 1-ю коробку наименьшее количество камней (что бы в 3-й коробке осталось набольшее количество камней), что бы разница давала при делении на 3 остаток 0:

1-я коробка = 2
2-я коробка = 2
Разница: 2 – 2 = 0
Остаток от деления на 3: 0

    Меньше камней во 2-й коробке быть не может. Тогда в 3-й коробке:

199 – 2 – 2 = 195

1 коробка2
коробка
3
коробка
 
951040 
–1–1+295 раз 
09190 
+2–1–1 3 раза
66187 
–1  –1 +2 4 раз
 2 2 195 

Ответ: а) да, б) нет, в) 195.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.